本帖最后由 qcyfred 于 2019-6-23 21:47 编辑
根据定义，速度是矢量，我们还能用一个数字去表示它？ 我上高中的时候，物理课上，一维运动。 老师会教，以及很多专心听讲的同学都会说，规定一个正方向，比如向右。 速度往右，v > 0，速度往左，v < 0。 举个例子，v = 3，表示物体每秒向右运动3个单位， 或者v = -3，向左运动。 这种混乱的教学方式，让我困惑到了高考，困惑到了大学，甚至研究生时的我也一直困惑着。 好在现在我好像解开了这个疑团。 可能是我太愚昧，不懂中学老师的精髓。 尽管平时我的理综考270（300满分，重庆卷），但那时仍然不懂这个道理。 不过，可能也正是不懂，所以高考崩盘（233分，重庆卷，2011年）。
v = ds /dt，加粗代表矢量。 矢量的写法，本来应该是顶上加箭头，但网页上不好编辑，就用加粗或者不加粗来区分吧。 v是速度，矢量，v是速率，标量。
回到刚刚说的疑惑。 疑点1： 本来速度是矢量，为什么要写成 v = 3或者v = -3呢？ 3或者-3，不是一个数字吗？数字怎么能和矢量画上等号呢？ 疑点2： v加粗是速度，矢量，v不加粗是速率，标量。 我怎么能在答卷上写 v= -3 呢？速率是路程除以时间啊，怎么也不能为负啊。 疑点3： 既然v是速率，不能写v=-3，那上面的教法就是错的。我也不能写v = -3啊，老哥！ -3是个数字，明显不是矢量啊，大兄弟！ 这才是第一步，速度。到后面，力、速度、加速度、动量、冲量……，我是完全懵了。 那为什么理综可以考270呢？只是跟着感觉走罢了。现在回想起来，也觉得搞笑。 三个字，没搞懂。
现在来解开疑团。 需要明确的是： 1. v加粗是速度，矢量，v不加粗是速率，标量。 2. 3和-3是数字，不是矢量，是标量。 3. 一定不能写v = -3，也一定不能写v=-3。 那我们漏了什么东西吗？为什么总有一种奇怪的感觉？
解答如下。 第一段。标准定义。如果这一段没看懂，请直接看第二段。 v = ds /dt v = |v| = |ds/ dt| = |ds|/dt = ds / dt s是位置矢量，ds是位置矢量的微小变动（向量相减），ds是dt时间内通过的路程。
第二段。标准写法。 标准写法，应该写成 v = 3 * i，i代表单位向量，指向x轴正方向。速率带上方向，就是速度。没问题。 这是向量的表达形式。也可以写成，v = (3)，(3)的意思不是会计上的-3，而是一维的坐标表示，正的3。没毛病。 一维的坐标的表示可能给人造成误解，因为谁他妈吃饱了撑的，一维坐标写成(3)啊。不过如果说二维坐标，就很自然了。 比如，v = (3)也可以写成v =(3, 0)，是不是自然很多。说明x方向上的速率为3，往右，y方向的速率为0。v = (3)只不过把y方向上的分量舍去了，因为这本来就只是一维运动。 要知道，坐标的定义(a, b)其实是 a * i + b * j，i 和j是分别指向x轴和y轴正方向的单位矢量。 如果在三维空间中的运动，速度v可以分解到x轴、y轴和z轴上，那么到时的速度将表示为v = a * i + b * j + c * k，i 、j、k是分别指向x轴、y轴和z轴正方向的单位矢量。根据坐标的定义，速度v完全可以写成v = (a, b, c)。
第三段。反思。 当时会给我造成误解，其原因可能是： 1. 教学不规范，不标准。 2. 省掉了一些步骤，让人看不懂。 3. 可能是我自己太愚昧了吧。 v = -3这种写法一定是错的。v是速率，你听说过绝对值小于0吗？ v = 3这种写法尽管是对的，也不规范，会给人造成歧义。因为你要不结合上下文，谁不觉得3是个数字啊？
规范一点，你要么写成 v = 3 * i，要么写成v = (3)。 实在要秀，你可以写成 v = 3 * exp(i * 0)。这是极坐标复数表达，表示速率是这个复数的模3，方向为0，指向右（就是x轴的正方向）。这里的i不是单位向量i，而是 i = sqrt(-1)，复数的单位。 那么，v = -3，其实是v = 3 * exp(i * pi)。速率是3，方向指向pi（就是x轴的负方向）。 所以其实上面的x方向和y方向，也可以表示为i（这是向量）方向和j方向，也可以表示为1方向（这是数量）和i方向。复平面上的坐标轴一般叫做1和i，二维向量（也就是复数）在坐标轴上的投影成为实部和虚部。
数轴 普通的x轴和y轴，二维笛卡尔坐标系 i方向和j方向 1方向和i方向。 速度矢量
心中疑团终于解开，一块石头终于落地。
感谢Euler欧拉： exp(i * pi) + 1 = 0。最美公式。 | 
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